◇◇新语丝(www.xys.org)(xys2.dxiong.com)(www.xysforum.org)(xys-reader.org)◇◇ 对约克、山人、华理野猫有关概率问题的集中回复 作者：奥卡姆剃刀 近日去外地搞了一个学术交流，有些日子没看《新语丝》了，昨天一上来， 发现了好几篇关于概率问题的帖子，我交流一下自己的看法，不妥之处请大家指 正。 1、约克网友 首先，约克网友感到两种概率是不同的，这种感觉是对的，但他对概率的定 义不规范，所谓的“第二种条件概率”应称为“后验概率”，即在已经下雨了的 情况下，之前曾预报有雨的概率，记作P(预报有雨|下雨了)；而所谓的“第一种 无条件概率”应称为“先验概率”，即在预报有雨的情况下，果真下雨的概率， 其实这不是无条件的，同样也是一个条件概率，记作P(下雨了|预报有雨)。 此题求的是先验概率，即P(下雨了|预报有雨)，为了求它，要先求出预报有 雨的概率，即P(预报有雨)。根据全概率公式：P(预报有雨)=P(预报有雨|下雨了) ×P(下雨了)+P(预报有雨|没下雨)×P(没下雨)=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26。 再根据贝叶斯公式：P(下雨了|预报有雨)×P(预报有雨)=P(预报有雨|下雨了) ×P(下雨了)，即P(下雨了|预报有雨)×0.26=0.8×0.1，所以P(下雨了|预报有 雨)=0.3，即预报了有雨后，果真下雨的概率只有30%。 他所谓的第二种条件概率，即“后验概率”，是对预测遗漏度的一种考量。 试想一种情况：气象局采取一种过于谨慎的态度，他们只有在非常有把握的情况 下才会预报有雨，这样的话，其先验概率会很高，即P(下雨了|预报有雨)很大， 接近于1，但后验概率会很少，即P(预报有雨|下雨了)很少，也就是说：虽然他 们只要一预报有雨就会真的下雨，但漏预报的次数也很多，很多次下雨之前并没 有预报。从对我们生活的指导方面来看，这种策略是不妥的。简单地说，这种 “后验概率”是对气象局勤政的一种事后检验。 对此例而言，“后验概率”的条件是已经下雨了，当然不会对我们带不带伞 有指导意义了，我们是否应该带伞，靠的是“先验概率”，即预报有雨后真的会 下雨的可能性，也就是原题中我们最终求得的P(下雨了|预报有雨)=0.3。 2、山人网友 山人网友把基础条件搞错了，他认为基础条件是“英国小时降雨的基础概率 是0.1，日降雨的基础概率是0.4，预报的准确率在80%左右。”而事实上，小时 降雨概率0.1与日降雨概率0.4分别是互不相关的两个问题的前提，把它俩楞搅在 一起当然就错了。 其实，小时降雨概率0.1与日降雨概率0.4这两个条件本身就是矛盾的。小时 降雨概率0.1，说明小时不降雨概率为0.9，24小时都不降雨的概率是0.9∧ 24(0.9的24次方)=0.08，所以日降雨的概率=1-0.9∧24=0.92，而不是0.4。前题 搞错了，后面的分析当然也就无意义了。 3、华理野猫网友 首先，其标题“也有概率不能解释的问题”不妥，其分析的地震例子，恰恰 是可以用概率解释的典型问题。其分析中考虑了时间因素，这是对的。我估计他 之所以称概率不能解释，指的是古典概率学，而没考虑到现代概率理论。而在现 代概率理论中，使用的是概率密度、分布函数、相关系数、协方差函数等概念， 在分析其所提的地震例子时，是一个非常简单的概率密度在时间上求积分的过程。 其次，他文中结尾举的例子“例如我说未来30天内每天下雨的概率为1%，那 么未来30天内下雨的概率就一定不是1%，也许为30%，也许为100%。”是错的， 未来30天内下雨的概率不是30％，更不可能是100％，而是26％，算法为1-0.99 ∧24。 4、蓝车和绿车问题 在罗伯特·马修斯（Robert Matthews）“你的预测有多准？”一文中，讲 了一个出租车夜间肇事逃逸案的例子，并给出41%的正确答案。我估计有不少网 友不知道这个结果是如何得出的，我把我的解题过程公布出来供大家参考： 设蓝车事件为B，绿车事件为G，看作是蓝车事件为b，看作是绿车事件为g， 所以由原题知：P(B)=0.15，P(G)=0.85，P(b|B)=0.8，P(b|G)=0.2。 推导： P(b)=P(b|B)×P(B)+P(b|G)×P(G)=0.8×0.15+0.2×0.85=0.29 因为：P(B|b)×P(b)=P(b|B)×P(B) 所以：P(B|b)×0.29=0.8×0.15 P(B|b)=0.41379 罗伯特·马修斯建议大家使用“列联表”来计算此类概率问题，这当然是因 人而异的，我觉得只要搞清楚了概率的条件和结果，使用全概率公式和贝叶斯公 式去计算，会非常清晰和简洁。 (XYS20080727) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys2.dxiong.com)(www.xysforum.org)(xys-reader.org)◇◇