◇◇新语丝(www.xys.org)(xys2.dxiong.com)(www.xysforum.org)(xys-reader.org)◇◇ 羊车与贝壳概率问题分析 作者：奥卡姆剃刀 joysong网友在XYS20080731的文章中，提出了羊车概率问题，这是一个老问 题了，我前两年就在校园网里跟同学们一起讨论过了。为了把问题分析清楚，我 给出了自己的分析，编写了仿真程序，用Matlab画了图，不仅如此，还要挑出其 他同学分析中甚至程序中的错误，当时热闹的很。我就把以前的部分分析内容传 上来供网友们参考，由于篇幅和文本格式的限制，仿真程序和图就省略了。 hercules网友在XYS20080802的文章中对马丁·加德纳的《从惊讶到思考— —数学悖论奇景》中的贝壳问题提出了异议，很遗憾，加纳没错，而是你错了。 贝壳问题的两种条件与羊车问题均不相同，特别是另你不解的第一种条件，是操 纵者翻开空贝壳后，你并没有新的选择机会，这是与羊车问题的关键不同。作者 说的非常清楚，你已经以1/3能赢的概率选定了某个贝壳，操纵者亮开一个空壳， 这对1/3的概率并没有改变。 举个极端的例子吧，你从100000张彩票中买了1张，中头奖的概率为 1/100000，操纵者当然知道中奖者是谁（姑且称之为张三），操纵者为了骗得人 们对中头奖的信心，他分别对99999个没中头奖的彩民说“除了张三和你之外， 99998个人都没有中头奖，你中头奖的概率已经是1/2，而不是1/100000，恭喜 你!”，请问：您相信他的话吗？ 你请网友们给出数学算式帮你理解，我认为这个方式效果不行，因为算式是 思想的体现，如果你不理解对方的思想，那对算法也一样不会理解。 羊车问题原题： 假设你在进行一个游戏节目。现给三扇门供你选择：一扇门后面是一辆轿车， 另两扇门后面分别都是一头山羊。你的目的当然是要想得到比较值钱的轿车，但 你却并不能看到门后面的真实情况。主持人先让你作第一次选择。在你选择了一 扇门后，知道其余两扇门后面是什么的主持人，打开了另一扇门给你看，而且， 当然，那里有一头山羊。现在主持人告诉你，你还有一次选择的机会。那么，请 你考虑一下，你是坚持第一次的选择不变，还是改变第一次的选择，更有可能得 到轿车？ 《广场杂志》刊登出这个题目后，竟引起全美大学生的举国辩论，许多大学 的教授们也参与了进来。真可谓盛况空前。据《纽约时报》报道，这个问题也在 中央情报局的办公室内和波斯湾飞机驾驶员的营房里引起了争论，它还被麻省理 工学院的数学家们和新墨哥州洛斯阿拉莫斯实验室的计算机程序员们进行过分析。 现在，请你来回答一下这个问题。 1、羊车问题概率分析 设门后为车、甲羊、乙羊，第1次选定门，其后为车、甲羊、乙羊的概率均 为1/3，因此可分为等概的3种情况： 第1次选择 主持人开门 第3个门后 变 不变 情况1： 车（1/3概率） 甲羊 乙羊 得羊 得车 情况2： 甲羊（1/3概率） 乙羊 车 得车 得羊 情况3： 乙羊（1/3概率） 甲羊 车 得车 得羊 由上述关系可看出，只有第1次选择对了，并且不变是才能得车，但这概率 仅为1/3。而第1次选择错了，即选择了羊时，有2/3的概率，此时主持人将另一 只羊亮出来，则第3个门一定是车，所以说变一下得车的概率是2/3。要是我去选 择，心里会祈祷第1次选择一定要让我选上羊吧！ 2、认定概率为1/2的错误原因分析 有些人认定换得车的概率是1/2，这是错误的，原因如下： 如果在你第1次选择之前，主持人就将某个羊门打开，则换得车的概率的确 是1/2。但是，由于第1次你指定了一个门，这个门后有1/3的可能是车，2/3的可 能是羊。所以主持人只能被动地以1/3的可能从2个羊门任选1个打开，以2/3的可 能没有选择地将剩下的羊门打开。 这是个典型的条件概率问题。 3、n羊1车的问题分析 为了更加深入地说明问题并得到一个通式，将原题的“2羊1车”扩展成“n 羊1车”，其它条件不变。分析如下： 3.1 换而得车情况：即第1次从n羊1车中选到羊，此情况概率为n/(n+1)，在 此条件下，换而得车的概率为(n/(n+1))*(1/(n-1))...(公式1) 3.2 换而得羊的情况，又分为以下两种情况： 3.2.1 情况一：第1次选到车，第2次换必然得羊，此概率为1/(n+1) 3.2.2 情况二：第1次选到羊，此情况概率为n/(n+1)，在此条件下，换而得 羊的概率为(n/(n+1))*((n-2)/(n-1)) 3.3.3 将上述两种情况合并，即换而得羊的概率为1/(n+1)+ (n/(n+1))*((n-2)/(n-1))…(公式2) 3.3 将换而得车与换而得羊的概率相加(n/(n+1))*(1/(n-1))+ 1/(n+1)+ (n/(n+1))*((n-2)/(n-1))，其结果为1，说明了上述分析并没有遗漏情况。 3.4 回到原题，把n=2代入到公式1中，得换而得车的概率为2/3，将n=2代入 到公式2中，得换而得羊的概率为1/3。 (XYS20080803) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys2.dxiong.com)(www.xysforum.org)(xys-reader.org)◇◇