◇◇新语丝(www.xys.org)(xys3.dxiong.com)(www.xysforum.org)(xys2.dropin.org)◇◇ 辩证法为什么"不够实在"——在和唐吉珂德的辩论中插句嘴 作者：pchu 首先，我个人十分赞同abada的意见，观点很清晰： 1.解决芝诺佯谬的关键，仅仅在于用数学探清了常识中的误区。 2.指出芝诺悖论的错误时，数学可以代替辩证法；只用辩证法来解释，反而 理由不充分。 3.数学使用经过严格证明的反例来推翻命题，而不是常识或者辩证法。 4.还有其他，我没再仔细看了。 对于第二点，我也来举例子说明为什么辩证法"不够实在"，说明问题的理由 不充分。 既然唐吉珂德网友也承认"微积分是最有权威性的"，那么我们还是从高处往 下望辩证法吧。首先，辩证法自称解决了"为什么无限个有限之和可以是有限"的 问题。那么它还能不能解决"为什么有时候，无限个有限之和是无限"的问题，以 及"什么时候是有限，什么时候是无限"的问题呢？比如说，从0到1对函数1/x进 行积分，辩证法来告诉我这是有限还是无限？或者改一改，从0到1对函数1/(√x) （根号x）进行积分，又是有限还是无限？ 如果说辩证法在建立"极限"的数学定义上曾经有过功劳，为什么当黎曼积分 遭遇它也积不了的函数时（有些看起来应该是有限的东西变成无限，或者相反）， 辩证法没及时出来给我们献上勒贝格积分、Henstock–Kurzweil积分以及其它更 多积分的概念呢？哦对了，因为数学家遇到以往的积分方法无法认知的函数时， 并不是去想"看起来有限的东西为什么变成无限了"，而是清楚地明白"积分"本身 并不是那个函数本身具有的、唯一的标签，而是数学家为了认识那个函数而创立 的测量工具。 其实和芝诺悖论是一样的，在此之前人们（几乎）只会用"往前走了多少步" 来衡量距离的远近、有限还是无限。这一衡量方法依赖于步长，所以和另一个" 更标准"的尺量发生了矛盾。这就类似于不同积分定义之间的关系。 这里我想起唐吉珂德所说的"微分和积分本身也是一对矛盾"，恐怕也是贻笑 大方了，你说的是哪个积分啊？如果一个"极限"的概念是一个超越的话，辩证法 恐怕漏过了后面好多好多的"超越"呢。 回到开头那个问题，辩证法如果要解释为什么从0到1对函数1/(√x)的积分 有限，而从0到1对函数1/x的积分无限，恐怕只能说出类似的话来吧，恐怕不需 要用1/x和1/(√x)的性质吧。因而我说，辩证法分辨不出两者的区别，从而其解 释必定理由不充分。 退一步讲，我们回到"辩证法的主场"：抽象有限和无限上，并且我们不谈具 体的函数。请问辩证法能够判断"整数有无限个"中的无限，和"实数有无限个"中 的无限，孰大孰小吗？或许你还是认为还是太"数学"了。那么请问"长度为1的线 段上有无限个点"中的无限，和"边长为1的正方形上有无限个点"中的无限，孰大 孰小？答案我在这里不说，唐吉珂德网友可以自己先用辩证法思考思考，再问问 旁人，你会知道"常识"如何之不可靠。（估计好些人已经会心地笑了）再者，数 学上违反常识的事真多了去了，因为数学家最喜欢就是找反例，辩证法看来这全 都是悖论，一个个攻克下来还得花好大的功夫呢。 顺便说个离题的、开玩笑的想法：数学上的化圆为方问题，问的是能不能在 只用尺规作图法的情况下，在有限步内根据一个给定圆形，画出一个具有同样面 积的正方形。如果用辩证法，这就是一行字的事：圆形和正方形这不是明摆着一 对矛盾嘛，它们对立统一嘛，它们互相转化嘛，这不就完了。 最后我来检查检查唐吉珂德网友的《辩证法不是概念游戏》一文。里面说" 我们只能说，线段长度的有限与无限是对立统一的，而不能说，长度的无限与宽 度的有限是对立统一的"。改一改后半句，可以变成，"芝诺过程（暂且这么称呼 它）里所用的步数的无限和总长度的有限是对立统一的"，这后半句的前面不是 还有"不能说"三个字吗？文中所说的"芝诺悖论以最严格的逻辑形式进行推理"， 我确实不敢苟同，我们且看"严格推理"可以怎样认识以下这个无限序列：A = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ...。（估计好多人已经会心地笑了）一眼 望上去，这无穷求和A肯定大于1/2，因为你看，那些(1/3 - 1/4),(1/5 - 1/6) 都是正的。但是不是有加法交换律吗？ A = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 -...) - (1/2 + 1/4 + 1/6 +...) = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 -...) + (1/2 + 1/4 + 1/6 +...) - 2*(1/2 + 1/4 + 1/6 +...) = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +...) - (1 + 1/2 + 1/3+ 1/4 +...) = 0 恐怕辩证法看不出其中的猫腻吧。事实上，数学上可以证明，利用这猫腻， A可以等于任何数。 文中还提到"关于有限与无限的关系问题，才是这个问题（芝诺悖论）的本 质"，那"有限与无限的关系问题"恐怕几乎是整个数学分析的本质吧，或者换句 话说，"数学分析所有问题的本质都一样"？这难道不是把复杂问题过于简单化了？ 或许我也能说一句"1和0的关系问题"是数学的本质，后面还有老祖宗的八卦、香 农的信息论做后台呢…… ps.说起来看了新语丝这么久，这才是第二次投稿呢。比起两年前，自己变 了很多。 (XYS20081214) ◇◇新语丝(www.xys.org)(xys3.dxiong.com)(www.xysforum.org)(xys2.dropin.org)◇◇